Question

已知曲線C：f（x）=x+

a

x

（a＞0），直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標原點．則△OMN與△ABP的面積之比為

8

．

Answer 1

分析：由題意易得B的坐標，寫出垂線的方程聯立y=x可得A坐標，進而可得△ABP的面積，然后可寫出切線的方程，進而可得M、N的坐標，可表示出△OMN的面積，從而求出△OMN與△ABP的面積之比．

解答：解：由題意設點P（x₀，x₀+

a

x0

），則B（0，x₀+

a

x0

），
又與直線l垂直的直線的斜率為-1，故方程為y-（x₀+

a

x0

）=-（x-x₀）
和方程y=x聯立可得x=y=x₀+

a

2x0

，故點A（x₀+

a

2x0

，x₀+

a

2x0

），
故△ABP的面積S=

1

2

|x₀||x₀+

a

2x0

-（x₀+

a

x0

）|
=

1

2

|x₀||

a

2x0

|=

1

4

a，解得a=2，
又因為f（x）=x+

a

x

，所以f′（x）=1-

a

x2

，故切線率為k=1-

a

x 2 0

，
故切線的方程為y-（x₀+

a

x0

）=（1-

a

x 2 0

）（x-x₀），
令x=0，可得y=

2a

x0

，故點N（0，

2a

x0

），
聯立方程y=x可解得x=y=2x₀，即點M（2x₀，2x₀），
故△OMN的面積為

1

2

•|

2a

x0

||2x₀|=2a，
則△OMN與△ABP的面積之比為 8．
故答案為：8．

點評：本題考查利用導數研究曲線的切線方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．