Question

已知曲線C：f（x）=x³．
（1）利用導數的定義求f（x）的導函數f′（x）；
（2）求曲線C上橫坐標為1的點處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據導數的定義求f（x）的導函數f′（x）；
（2）根據導數的幾何意義求切線方程．

解答：解：（1）設函數f（x）在（x，x+△x）上的平均變化率為

△y

△x

=

f(x+△x)-f(x)

△x

=

(x+△x)3-x3

△x

=

x3+3x2•△x+3x•(△x)2+(△x)3-x3

△x

3x²+3x•△x+（△x）²，
∴f'（x）=

lim

△x→0

(3x2+3x•△x+(△x)2)=3x²．
（2）∵f'（x）=3x²，
∴f'（1）=3，f（1）=1，
∴曲線C上橫坐標為1的點處的切線方程為y-1=3（x-1），即y=3x-2．

點評：本題主要考查導數的定義，以及導數的幾何意義，利用導數和瞬時變化率之間的關系求導數是解決本題的關鍵．