Question

【題目】已知的圓心為，的圓心為，一動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在，2.

【解析】

（1）利用動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切可得動(dòng)圓圓心滿足的幾何性質(zhì)，再根據(jù)橢圓的定義可得的軌跡方程.

（2）設(shè)的方程為，，，則，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得的值.

(1)設(shè)動(dòng)圓圓心，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意有

，，消得到：，

故軌跡的方程為：，它是橢圓.

(2)由己知得，由題知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，，則.

等價(jià)于即，

即證明成立，

也即①.

聯(lián)立方程，消去得：

由韋達(dá)定理得，

代入①可得

所以存在實(shí)數(shù)滿足題意.