Question

【題目】如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點，是的中點，點在上，．

（1）證明：平面平面；

（2）證明：平面；

（3）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）利用余弦定理計算出，由勾股定理可得出，再由平面，可得出，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面，然后利用平面與平面垂直的判定定理可證明出平面平面；

（2）證法一：過點作交于點，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

證法二：取中點，連接、，證明平面平面，即可得出平面；

（3）過點作，垂足為，在直角中過點作，垂足為，證明出平面，可知二面角的平面角為，計算出中的和，然后利用銳角三角函數的定義求出即可.

（1）在中，由余弦定理得，

即，解得，，則，.

因為平面，平面，所以.

，、平面，平面.

平面，平面平面；

（2）證法一：過點作交于點，取的中點，連接、．

點為的中點，為的中點，，．

又是的中點，是的中點，點在上，，且，

，，且，

所以四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面；

法二：取中點，連接、，

、分別為、的中點，.

平面，平面，平面.

為的中點，為的中點，，則，

，即，，.

平面，平面，平面.

因為，所以平面平面，

平面，所以平面；

（3）過點作，垂足為，在平面內過點作，垂足為，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，

，，平面，

平面，，則為二面角的平面角，

由等面積法可得，

平面，平面，，

在中，，，，

由等面積法得，則.

因此，二面角的正弦值為.