Question

【題目】已知直線l： （t為參數），曲線C1： （θ為參數）． （Ⅰ）設l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的 倍，縱坐標壓縮為原來的 倍，得到曲線C2 ， 設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）l的普通方程為y= （x﹣1），C1的普通方程為x2+y2=1，

聯立方程組 ，解得交點坐標為A（1，0），B（ ，﹣ ）

所以|AB|= =1；

（II）曲線C2： （θ為參數）．

設所求的點為P（ cosθ， sinθ），

則P到直線l的距離d= = [ sin（ ）+2]

當sin（ ）=﹣1時，d取得最小值 ．

【解析】（I）將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．

（II）將直線的參數方程化為普通方程，曲線C2任意點P的坐標，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值即可．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線的參數方程的相關知識，掌握經過點，傾斜角為的直線的參數方程可表示為（為參數），以及對圓的參數方程的理解，了解圓的參數方程可表示為．