Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數）.以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設動直線：分別與曲線，相交于點，，求當為何值時，取最大值，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的極坐標方程是，曲線的直角坐標方程是；（2）當時，取最大值，且.

【解析】

（1） 將C1的參數方程消去可化為普通方程，再利用互化公式可得C1的極坐標方程．同理利用互化公式將C2的極坐標方程化為直角坐標方程．

（2）法一：將直線的參數方程分別代入曲線、的普通方程，求得，利用及三角函數的值域可得結果.

法二：將（ρ≥0），代入C1, C2的極坐標方程，分別解得：．由結合三角函數的值域可得結果．

（1）曲線的普通方程為，即.將，代入，

得，所以曲線的極坐標方程是.

由，得.將，代入，得，

所以曲線的直角坐標方程是.

（2）解法一：設直線的傾斜角為，則的參數方程為（為參數，且）.

將的參數方程代入曲線的普通方程，得，則.

將的參數方程代入曲線的直角坐標方程，得，則.

所以 ，

據題意，直線的斜率存在且不為0，則，

所以當，即時，取最大值，且.

解法二：設直線的傾斜角為，則的極坐標方程為.

設點，的極坐標分別為，，則，.

所以 .

據題意，直線的斜率存在且不為0，則，

所以當，即時，取最大值，且.