Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，為的中點，點在平面內的射影在線段上.

(1)求證：；

(2)若是正三角形，求三棱柱的體積.

Answer 1

【答案】（1）見證明；(2)

【解析】

（1）分別證明和，結合直線與平面垂直判定，即可。（2）法一：計算，結合和，即可。法二 :計算，結合，計算體積，即可。法三：結合，計算結果，即可。

(1)證明：設點在平面內的射影為，

則，，且，因，所以.

在中，，，

則，在中，，，

則，

故，故.

因，故.

(2)法一、，

由(1)得，故是三棱錐的高，

是正三角形，，，

，

，

故三棱柱的體積，故三棱柱的體積為.

法二、將三棱柱補成四棱柱如圖，因且高一樣，

故，

故，

由(1)得，故是四棱柱的高，

故，

故，故三棱柱的體積為.

法三、在三棱錐中，由(1)得，是三棱錐的高，6分

記到平面的距離為，

由得，即，

為的中點，故到平面的距離為，

.

故三棱柱的體積為.