【題目】已知三次函數
，下列命題正確的是 .
①函數
關于原點
中心對稱；
②以
，
兩不同的點為切點作兩條互相平行的切線，分別與
交于
兩點，則這四個點的橫坐標滿足關系
；
③以
為切點，作切線與圖像交于點
，再以點
為切點作直線與圖像交于點
，再以點
作切點作直線與圖像交于點
，則
點橫坐標為
；
④若
，函數圖像上存在四點
，使得以它們為頂點的四邊形有且僅有一個正方形.
【答案】①②④
【解析】
試題分析：①函數滿足
是奇函數，所以關于原點（0,0）成中心對稱，正確；②因為
，根據切線平行，得到
,所以
,根據①可知，
,以點A為切點的切線方程為
,整理得：
,該切線方程與函數
聯立可得，
,所以
,同理：
,又因為，代入關系式可得
，正確；③由②可知，以
為切點，作切線與
圖像交于點
，再以點
為切點作直線與圖像交于點
，再以點
作切點作直線與圖像交于點
，此時滿足
，
,
, 所以
，所以③錯誤；④當函數為
，設正方形ABCD的對角線AC所在的直線方程為
，設正方形ABCD的對角線BD所在的直線方程為
，
，解得：
，所以
，
同理：
，因為
所以
，設
，即
，
，當
時，
，等價于
，解得
，
或
，
，所以正方形唯一確定，故正確選項為①②④.
【難點點睛】本題的難點是②和④，計算量都比較大，②的難點是過點A的切線方程與函數方程聯立，得到交點C的坐標，這個求交點的過程需要計算能力比較好才可以求解出結果；④的難點是需根據正方形的幾何關系，轉化為代數運算，這種化歸與轉化會讓很多同學感覺無從下手，同時運算量也比較大，稍有疏忽，就會出錯，所以平時訓練時，帶參數的化簡需所練習.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設點F1(－c，0)、F2(c，0)分別是橢圓C：
的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且
最小值為0．
⑴求橢圓C的方程；
⑵若動直線l1，l2均與橢圓C相切，且l1∥l2，試探究在x軸上是否存在定點B，點B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請求出B坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某校學生的視力情況，現采用隨機抽樣的方式從該校的
兩班中各抽5名學生進行視力檢測，檢測的數據如下：
班5名學生的視力檢測結果是： 
.
班5名學生的視力檢測結果是： 
.
（1）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪個班的學生視力較好？并計算
班的5名學生視力的方差；
（2）現從
班上述5名學生中隨機選取2名，求這2名學生中至少有1名學生的視力低于
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有6名奧運會志愿者，其中志愿者
通曉日語， 
通曉俄語， 
通曉韓語，從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組.
（1）求
被選中的概率；
（2）求
和
不全被選中的概率；
（3）若6名奧運會志愿者每小時派兩人值班，現有兩名只會日語的運動員到來，求恰好遇到
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別是直線
和
上的兩個動點，線段
的長為
，
是
的中點．
（1）求動點
的軌跡
的方程；
（2）若過點（1,0）的直線
與曲線交于不同兩點
．
①當
時，求直線
的方程；
②試問在
軸上是否存在點
，使
恒為定值？若存在，求出
點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，點
是直線
上的一動點，過點
作圓
的切線
，切點為
.
（1）當切線
的長度為
時，求點
的坐標；
（2） 若
的外接圓為圓
，試問：當在直線
上運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由.
（3）求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為常數，
是自然對數的底數），曲線
在點
處的切線與
軸平行．
（1）求
的值；
（2）求
的單調區間；
（3）設
，其中
為
的導函數．證明：對任意
，
．
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