Question

【題目】已知圓，點是直線上的一動點，過點作圓的切線，切點為.

（1）當切線的長度為時，求點的坐標；

（2） 若的外接圓為圓，試問：當在直線上運動時，圓是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，說明理由.

（3）求線段長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據圓的標準方程，求得半徑和圓心坐標，設，從而由條件可求出，即可求解的值，得到點的坐標；（2）設，由經過三點的圓以為直徑，化簡圓的方程，從而建立關于的方程，求得，即可得到圓過定點的坐標；（3）可寫出圓和圓的一般方程，聯立這兩個一般方程即可求出相交弦的直線方程，進而求出原先到直線的距離，從而求出弦長，即可得到的最小值，并求出最小值.

試題解析：（1）由題意知，圓的半徑 ,設是圓的一條切線， ，

解得 或.

（2）設經過三點的圓以為直徑，

其方程為，即，

由，解得或，圓過定點.

（3）因為圓方程為,即，圓，即，

由（2）-（1）得：圓方程與圓相交弦所在直線方程為：，點到直線的距離，

相交弦長即：.

當時，有最小值.