Question

【題目】（1）已知函數在區間上單調遞減，求實數的取值范圍.

（2）已知函數，，討論函數的單調性.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當a=2時,g(x)在(0,+∞)單調遞增；當1<a<2時,g(x)在(a-1,1)單調遞減，在(0,a-1),(1,+∞)單調遞增；當a>2時,g(x)在(1,a-1)單調遞減，在(0,1),(a-1,+∞)單調遞增.

【解析】

（1）由已知轉化為導函數在區間上恒小于等于0，進而構建不等式，參變分離求出取值范圍.

（2）由函數，其中a>1，知g (x)的定義域為(0， +∞o) ，，令g' (x) =0，得.由實數a的取值范圍進行分類討論，能夠求出g(x)的單調區間.

（1）已知函數在區間上是單調遞減，等價于導函數在區間上恒小于等于0，即在區間上恒成立則，

令，由反比例函數性質可知，其在上單調遞減，則，即

故實數的取值范圍為

（2）因為函數, 其中a>1,

所以g(x) 的定義域為(0,+∞)，且

令g'(x)=0,得

①若a-1=1,即a=2時,，故g(x)在(0,+∞)單調遞增；

②若0<a-1<1，即1<a<2時，由g'(x)<0得，a-1<x<1；由g'(x)>0得，0<x<a-1，或x>1

故g(x)在(a-1,1)單調遞減，在(0,a-1),(1,+∞)單調遞增；

③若a-1>1，即a>2時，由g'(x)<0得,1<x<a-1；由g'(x)>0得，0<x<1或x>a-1.

故g(x)在(1,a-1)單調遞減，在(0,1), (a-1,+∞)單調遞增，

綜上可得,當a=2時,g(x)在(0,+∞)單調遞增；

當1<a<2時,g(x)在(a-1,1)單調遞減，在(0,a-1),(1,+∞)單調遞增；

當a>2時,g(x)在(1,a-1)單調遞減，在(0,1),(a-1,+∞)單調遞增.