Question

【題目】已知f（x）=xex﹣ax2﹣x，a∈R．
（1）當a= 時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對x≥1時，恒有f（x）≥xex+ax2成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+1）ex﹣2ax﹣1，

當a= 時，f′（x）=（x+1）ex﹣（x+1）=（x+1）（ex﹣1），

當x＞0或x＜﹣1時，f′（x）＞0，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＜0，

函數f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣1），（0，+∞），單調遞減區間為（﹣1，0）；

（2）解：若對x≥1時，恒有f（x）≥xex+ax2成立，

即g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，

①a=0時，g（x）=x，顯然不成立，

②故a＜0，g（x）=ax2+x開口向下，對稱軸x=﹣ ，

﹣ ＜1即a＜﹣ 時，g（x）在[1，+∞）遞減，

g（x）min=g（1）=a+1≤0，解得：a≤﹣1；

﹣ ≤a＜0時，g（x）在[1，﹣ ）遞增，在（﹣ ，+∞）遞減，

g（x）max=g（﹣ ）=﹣ ＞0，不成立，

綜上：a≤﹣1．

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為g（x）=ax2+x在≤0[1，+∞）恒成立，a=0時，不成立，a＜0時，結合二次函數的性質求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．