Question

【題目】在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinAsinC，且c＜2a．
（1）求證：△ABC為等腰三角形
（2）若△ABC的面積為8 ．且sinB= ，求BC邊上的中線長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中3sin2C+8sin2A=11sinAsinC，

∴由正弦定理可得3c2+8a2=11ac，

分解因式可得（c﹣a）（3c﹣8a）=0

解得c=a或c= ，由c＜2a可得c=a，

故△ABC為等腰三角形；

（2）解：∵△ABC的面積為8 ，且sinB= ，

∴8 = a2 ，解得a=c=8，

由同角三角函數基本關系可得cosB=± =±

設BC邊上的中線長為x，當cosB= 時，

由余弦定理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=64，x=8；

當cosB=﹣ 時，同理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=96，x=4

【解析】（1）由已知式子和正弦定理可得3c2+8a2=11ac，分解因式結合題意可得c=a，可得△ABC為等腰三角形；（2）由題意和三角形的面積公式可得a=c=8，由同角三角函數基本關系可得cosB，利用余弦定理可得．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．