Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在極坐標系中，已知曲線，將曲線上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標軸伸長到原來的2倍，得到曲線，又已知直線（是參數），且直線與曲線交于兩點.

（I）求曲線的直角坐標方程，并說明它是什么曲線；

（II）設定點，求.

Answer 1

【答案】（I），是橢圓；（II）.

【解析】

試題分析：（I）對曲線兩邊乘以化為直角坐標為，經過平移和伸縮變換后得到曲線的直角坐標方程為，這是焦點在軸上的橢圓；（II）將直線的參數方程代入曲線的方程中，化簡得，寫出根與系數關系，，，結合點的幾何意義可求得.

試題解析：

（I）曲線的直角坐標方程為：，即，

∴曲線的直角坐標方程為，

∴曲線表示焦點坐標為，，長軸長為4的橢圓.

（II）直線（是參數）

將直線的方程代入曲線的方程中，

得.

設對應的參數方程為，

則，，

結合的幾何意義可知，