Question

已知斜率為-2的直線與橢圓交于A，B兩點，且線段AB的中點為．直線l₂與y軸交于點M（0，m）（m≠0），與橢圓C交于相異兩點P，Q，O為坐標原點，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則．
∵，，
∴兩式相減得，即=0，即，得，
所以橢圓C的方程為2x²+y²=1．
（2）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m（∵l₂與y軸相交，∴l₂的斜率存在）．
由，得，得，
即，將①代入②得（λ-3）m=0，
∵m≠0，∴λ=3．
（3）將y=kx+m代入2x²+y²=1，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
∵λ=3，
∴由消去x₃、x₄得，．
由△＞0得k²＞2（m²-1），即2（m²-1），即，即，解得，或．
所以m的取值范圍為，或．
分析：（1）平方差法：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程作差，據中點坐標公式、直線斜率公式即可求得a²值；
（2）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），l₂：y=kx+m，由，用橫坐標表示出來即可求得λ值；
（3）將直線l₂的方程與橢圓方程聯立消y，由（2）的結論及韋達定理可得k，m的關系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范圍；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，弦長公式、韋達定理、判別式是解決該類問題的基礎知識，應熟練掌握，涉及弦中點問題常考慮“平方差法”．