Question

【題目】數列中，，.前項和滿足.

（1）求（用表示）；

（2）求證：數列是等比數列；

（3）若，現按如下方法構造項數為的有窮數列，當時，；當時，.記數列的前項和，試問：是否能取整數？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見詳解.

（3）能取整數,此時的取值集合為.

【解析】

（1）利用遞推關系式,令,通過,求出即可.

（2）遞推關系式轉化為：,化簡推出數列是等比數列.

（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數,需為整數,推出的取值集合為時,取整數

解：（1）令,則,

將,代入,有.

解得：.

（2）由

得,

化簡得,又,

是等比數列.

（3）由,,

又是等比數列,

,

,

①當時,

依次為,

.

②當時,

,

,

,

要使取整數,需為整數,

令,,

,要么都為整數,要么都不是整數,

又

所以當且僅當為奇數時,為整數,

即的取值集合為時,取整數.