Question

【題目】下列4個命題，其中正確的命題是 ①“ ”是“ 不共線”的充要條件；
②已知向量 是空間兩個向量，若 ，則向量 的夾角為60°；
③拋物線y=﹣x2上的點到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值是 ；
④與兩圓A：（x+5）2+y2=49和圓B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為 ．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①若 同向共線，則“ ”成立，即充分性不成立，故①錯誤， ②已知向量 是空間兩個向量，若 ，
則平方得| |2﹣2 +| |2=7，
即9﹣2 +4=7，則 =3，
則cos＜ ， ＞= = ，
則向量 的夾角為60°；故②正確，
③先對y=﹣x2求導得y′=﹣2x，令y′=﹣2x=﹣ ，易得切點的橫坐標為x0= ，
即切點P（ ，﹣ ），利用點到直線的距離公式得d= = ．
則拋物線y=﹣x2上的點到直線4x+3y﹣8=0的距離的最小值是 ；故③正確，
④解：設所求圓P的半徑為R，
∵與圓A：（x+5）2+y2=49和圓B：（x﹣5）2+y2=1都外切
∴|PA|=R+7，|PB|=R+1；∴|PA|﹣|PB|=6，
∴由雙曲線的定義知，圓心P的軌跡是以點A，B為焦點的雙曲線的右支，
∴a=3，c=5；∴b=4；圓心P的軌跡方程為 =1（x＞0），故④錯誤，
所以答案是：②③
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．