Question

【題目】我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就，在“楊輝三角”中，第行的所有數字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的前15項和為（ ）

A. 110B. 114C. 124D. 125

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用二項式系數對應的楊輝上三角形的第行，令，得到二項展開式的二項式系數的和，再結合等差、等比數列的求和公式，即可求解.

由題意，次二項式系數對應的楊輝三角形的第行，

令，可得二項展開式的二項式系數的和，

其中第1行為，第2行為，第3行為， 以此類推，

即每一行的數字之和構成首項為1，公比為2的對邊數列，

則楊輝三角形中前行的數字之和為，

若除去所有為1的項，則剩下的每一行的數字的個數為

可以看成構成一個首項為1，公差為2的等差數列，則，

令，解得，

所以前15項的和表示前7行的數列之和，減去所有的1，即，

即前15項的數字之和為114，故選B.