Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為、，上頂點為B，O為坐標原點，且向量與的夾角為．

求橢圓的方程；

設，點P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值；

設不經過點B的直線l與橢圓相交于M、N兩點，且直線BM、BN的斜率之和為1，證明：直線l過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值6，最小；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由向量與的夾角為，可得可得，即可得到橢圓方程；（2）設，代入橢圓方程，結合數量積公式可得，利用二次函數的性質可得結果；(3)設不經過點的直線方程為：，聯立橢圓方程可得，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡可得，代入直線方程即可得證．

橢圓：的，向量與的夾角為，

可得，即，

則橢圓方程為；

設，可得，即，

，

由可得時，上式取得最小值；時，取得最大值6，

則的范圍是；

證明：當直線l的斜率不存在時，設，，

由，

，，得，此時M，N重合，不符合題意；

設不經過點P的直線l方程為：，，，

由得，

，，

，

，

，，

，

直線l必過定點．