Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞0，b＞0）經過點（﹣ ， ）．且離心率為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過橢圓C的左焦點F作兩條互相垂直的動弦AB與CD，記由A，B，C，D四點構成的四邊形的面積為S，求S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當a＞b時，∵橢圓C： =1（a＞0，b＞0）經過點（﹣ ， ）．且離心率為 ．

∴由題意 + =1，且e= = ，

解得a2=2，b2=1，

∴橢圓方程為 =1；

②當a＜b時，∵橢圓C： =1（a＞0，b＞0）經過點（﹣ ， ）．且離心率為 ．

∴由題意 + =1，且e= = ，

解得 ，b2= ，

∴橢圓方程為 =1．

∴橢圓C的方程為 =1或 =1．

（2）解：∵過橢圓C的左焦點F作兩條互相垂直的動弦AB與CD，∴取橢圓C的方程為 =1，

①當兩條弦中有一條的斜率不存在時，則另一條的斜率為0，

∴由A，B，C，D四點構成的四邊形的面積：

S= |AB||AC|= =2．

②當兩弦的斜率均存在時，可知均不為0，設A（x1，y），B（x2，y2），

令直線AB的方程為：y=k（x+1），則直線CD的方程為：y=﹣ （x+1），

由 ，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

∴|AB|= = ，

同理，|CD|= = =

= =2﹣ ，

∵2（k+ ）2+1≥2（2 ）2+1≥2（2 ）2+1=9，

當且僅當k=±1時取等號，

∴ ．

綜上， ．

∴S的最大值為2，最小值為

【解析】（1）根據a＞b和a＜b兩種情況，由橢圓C： =1（a＞0，b＞0）經過點（﹣ ， ）．且離心率為 ，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）取橢圓C的方程為 =1，當兩條弦中有一條的斜率不存在時，則另一條的斜率為0，此時由A，B，C，D四點構成的四邊形的面積S= |AB||AC|=2；當兩弦的斜率均存在時，令直線AB的方程為：y=k（x+1），則直線CD的方程為：y=﹣ （x+1），利用韋達定理、弦長公式，能求出S的最大值和最小值．