Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意設橢圓的標準方程為 ，

由已知橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，

可得：a+c=3，a﹣c=1，

∴a=2，c=1

∴b2=a2﹣c2=3

∴橢圓的標準方程為

（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2）

聯立 ，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，

則

又

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴

∴7m2+16mk+4k2=0

解得： ，且均滿足3+4k2﹣m2＞0

當m1=﹣2k時，l的方程y=k（x﹣2），直線過點（2，0），與已知矛盾；

當 時，l的方程為 ，直線過定點

所以，直線l過定點，定點坐標為

【解析】（1）由已知橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a﹣c=1，從而可求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓方程聯立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），結合根的判別式和根與系數的關系求解，即可求得結論．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．