Question

某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%.
(1)若建立函數y＝f(x)模型制定獎勵方案，試用數學語言表述該公司對獎勵函數f(x)模型的基本要求，并分析函數y＝＋2是否符合公司要求的獎勵函數模型，并說明原因；
(2)若該公司采用模型函數y＝作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數a的值．

Answer 1

（1）不符合公司要求（2）328

(1)設獎勵函數模型為y＝f(x)，按公司對函數模型的基本要求，函數y＝f(x)滿足：
當x∈[10,1 000]時，
①f(x)在定義域[10,1 000]上是增函數；
②f(x)≤9恒成立；
③f(x)≤恒成立．(2分)
對于函數模型f(x)＝＋2.
當x∈[10,1 000]時，f(x)是增函數，(3分)
f(x)_max＝f(1 000)＝＋2＝＋2＜9.
所以f(x)≤9恒成立．
但x＝10時，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，
故該函數模型不符合公司要求．(6分)
(2)對于函數模型f(x)＝，即f(x)＝10－，
當3a＋20＞0，即a＞－時遞增；(8分)
要使f(x)≤9對x∈[10,1 000]恒成立，
即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥；(10分)
要使f(x)≤對x∈[10,1 000]恒成立，
即≤，x²－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥.(12分)
綜上所述，a≥，所以滿足條件的最小的正整數a的值為328.(14分)