Question

【題目】如圖，在三棱臺DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．

（Ⅰ）求證：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：根據已知條件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；

△DEF∽△ABC，又AB=2DE，

∴BC=2EF=2BH，

∴四邊形EFHB為平行四邊形；

∴BE∥HF，HF平面FGH，BE平面FGH；

∴BE∥平面FGH；

同樣，因為GH為△ABC中位線，∴GH∥AB；

又DE∥AB；

∴DE∥GH；

∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；

∴平面BDE∥平面FGH，BD平面BDE；

∴BD∥平面FGH；

（Ⅱ）連接HE，則HE∥CF；

∵CF⊥平面ABC；

∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；

∴HC，HG，HE三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設HC=1，則：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；

連接BG，根據已知條件BA=BC，G為AC中點；

∴BG⊥AC；

又CF⊥平面ABC，BG平面ABC；

∴BG⊥CF，AC∩CF=C；

∴BG⊥平面ACFD；

∴向量 為平面ACFD的法向量；

設平面FGH的法向量為 ，則：

，取z=1，則： ；

設平面FGH和平面ACFD所成的銳二面角為θ，則：cosθ=|cos |= ；

∴平面FGH與平面ACFD所成的角為60°．

【解析】(1)根據AB=2DE,可得到BC=2EF,證出EFHB為平行四邊形,故BE∥HF,便有BE∥面FGH,再證明DE∥平面FGH,從而得到片BDE∥面FGH,結果得證;(2)連接HE,證明出HC,HG,HE三直線兩兩垂直,分別以這三直線為x,y,z軸,以H為坐標原點建立空間直角坐標系,由向量法可得平面FGH與平面ACFD所成角的大小.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．