Question

【題目】已知拋物線C：y=2x2 ， 直線l：y=kx+2交C于A、B兩點，M是AB 的中點，過M作x 軸的垂線交C于N點．

（Ⅰ）證明：拋物線C在N 點處的切線與AB 平行；
（Ⅱ）是否存在實數k，使以AB為直徑的圓M經過N點？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0

所以x1+x2= ，xN=xM= ，所以N（ ， ）．

因為（2x2）'=4x，所以拋物線在N點處的切線斜率為k，故該切線與AB 平行；

（Ⅱ）假設存在實數k，使以AB為直徑的圓M經過N點，則|MN|= |AB|

由（Ⅰ）知yM= ，又因為MN垂直于x軸，

所以|MN|=yM﹣yN= ，

而|AB|=|x1﹣x2| ，

所以 ，解得k=±2

所以，存在實數k=±2使以AB為直徑的圓M 經過N 點．

【解析】（Ⅰ）根據根與系數的關系及中點坐標公式求得點M的橫坐標，進而求得點N的坐標，再利用導數求得拋物線上的點N處切線的斜率，與直線AB的斜率相等則其切線與直線AB平行；（Ⅱ）先假設存在實數k，再根據題意得到關系式|MN|= |AB|，再將其化為方程，方程無根則不存在實數k，求得方程的根則存在實數k，并可求得實數k的值.