Question

【題目】已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P為橢圓C上的動點，且滿足，，面積的最大值為4.

（1）求動點Q的軌跡E的方程和橢圓C的方程.

（2）若點P不在x軸上，過點F2作OP的平行線交曲線C于M、N兩個不同的點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】分析：（1）由橢圓的定義可得圓的方程為，結(jié)合面積的最大值為可得，又，進而可得結(jié)果；（2）由消去可得，利用韋達定理以及三角形面積公式可得三角形面積為=，換元后利用配方法求最值即可.

詳解：（1）由橢圓的定義，又

∴

∴動點軌跡E是以F2（c，0）為圓心，半徑為的圓，

E的方程為

當點Q到F1F2的距離為時，最大

由題知：即，又

∴

故動點Q的軌跡E的方程為

橢圓C的方程為

（2）設(shè)，直線MN的方程為

由消得

顯然，則，

∵，∴

=

=

令：t=4+3m2

當時，的最大值為