Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是坐標平面內一點，且， （為坐標原點）.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過該點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為.

【解析】試題分析：（1）設的坐標，利用和求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a,b和c的關系求出b，則橢圓的方程可得.

（2）設出直線l的方程，與橢圓方程聯立消去y，設， ，則可根據韋達定理表示出和，假設在y軸上存在定點，滿足題設，則可表示出，利用，求出m的值

試題解析：（1）設， ， ，則由，得；

由得，

即.

所以.

又因為，所以.

因此所求橢圓的方程為： .

（2）設動直線的方程為： ，

由得.

設， ，則， .

假設在軸上是否存在定點，滿足題設，則， .

由假設得對于任意的， 恒成立，

即解得.

因此，在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過該點，

點的坐標為.