Question

【題目】管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內恰好處于位置（圖中給出的數據是圓管內壁直徑大小，）.

（1）請用角表示清潔棒的長；

（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；

（2）利用導數求得最大值即可.

（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，

，所以，同理，

.

（2）設，

則，

令，則，即.

設，且，則

當時，，所以單調遞減；

當時，，所以單調遞增，

所以當時，取得極小值，

所以.

因為，所以，又，

所以，又，

所以，所以，

所以，

所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.