Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數，）.

（1）求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若函數在區間上有兩個極值點，且恒成立，求滿足條件的的最小值（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義計算即可；

（2）在上恒成立，只需，注意到；

（3）在上有兩根，令，求導可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以且，，，求出的范圍即可.

（1）因為，所以，

當時，，

所以切線方程為，即.

（2），.

因為函數在區間上單調遞增，所以，且恒成立，

即，

所以，即，又，

故，所以實數的取值范圍是.

（3）.

因為函數在區間上有兩個極值點，

所以方程在上有兩不等實根，即.

令，則，由，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，解得且.

又由，所以，

且當和時，單調遞增，

當時，單調遞減，是極值點，

此時

令，則，

所以在上單調遞減，所以.

因為恒成立，所以.

若，取，則，

所以.

令，則，.

當時，；當時，.

所以，

所以在上單調遞增，所以，

即存在使得，不合題意.

滿足條件的的最小值為-4.