Question

【題目】如圖4，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°．PA⊥平面ABCD，E為PC中點．
（Ⅰ）求證：平面BED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面PBA與平面EBD所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結AC交BD于點O，連結OE，則O是AC的中點．
又知E是AP中點
∴EO∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD．
又知OE平面BDE，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：過B作BM⊥平面ABCD，連結PM，ME，如圖，
由（Ⅰ）可知，PA∥EO∥MB，
則MB是平面PBA與平面EBD的交線，可得MB⊥AB，MB⊥BO，
∠ABO計算平面PBA與平面EBD所成二面角的平面角，
四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°．可知：∠ABO=30°
cos∠ABO=cos30°=．
平面PBA與平面EBD所成二面角（銳角）的余弦值：．

【解析】（Ⅰ）證明面面垂直一般利用面面垂直的判定定理故可連接EO可利用中位線定理證得EO∥PC再結合PC⊥平面ABCD可得EO⊥平面ABCD即可得證．
（Ⅱ）過B作BM⊥平面ABCD，連結PM，ME，說明∠ABO計算平面PBA與平面EBD所成二面角的平面角，利用已知條件求出角的大小，即可求解余弦值．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．