Question

【題目】已知橢圓： （ ）的左右焦點分別為， ，離心率為，點在橢圓上， ， ，過與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于， 兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若， 的中點為，在線段上是否存在點，使得？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）依據題設運用余弦定理及已知條件建立方程進行求解；（2）依據題設先建立直線的方程，再運用直線與橢圓的位置關系分析求解：

（Ⅰ）由得， ， ，

由余弦定理得， ，

解得， ， ，

所以橢圓的方程為．　

（Ⅱ）存在這樣的點符合題意.

設， ， ，

由，設直線的方程為，

由得，

由韋達定理得，故，

又點在直線上， ，所以.

因為，所以，整理得，

所以存在實數，且的取值范圍為．