Question

如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且,設、分別為、的中點．

(1)求證：//平面；
(2)求證：面平面．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定以及線面平行的判定，運用傳統幾何法進行證明，突出考查空間想象能力和推理論證能力.第一問，連結，在中，利用中位線得，利用線面平行的判定，證明平面；第二問，先利用面面垂直的性質判斷出，從而平面，所以垂直于面內的任意的線，由，判斷是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直.
試題解析：（1）∵為平行四邊形，
連結,為中點，為中點，
∴在中，且平面，平面，
∴平面.
（2）因為面平面，平面面，
∵為正方形，，平面，
∴平面，∴.
又，所以是等腰直角三角形，
且，　　　即 ，
，且、面，
面，            
又面，　　面面.                       12分