Question

如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；
（2）若，求與所成角的余弦值；
（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，這里由于四邊形是菱形，所以，另外一條直線當(dāng)然考慮（或者），本題中應(yīng)該是；（2）求異面直線所成的角，一般可通過(guò)平移變成相交直線所成的角，考慮到第（3）小題問(wèn)題，且題中有垂直的直線，故考慮建立空間直角坐標(biāo)系（以的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)與平行的直線為軸），則與所成角就是與的夾角（（銳角（或其補(bǔ)角）或直角），平面與平面垂直就是它們的法向量垂直，即它們的法向量的數(shù)量積為0．
試題解析：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030708848526.png" style="vertical-align:middle;" />是菱形，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030708395394.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，而，所以平面.

（2）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030709518927.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)與所成的角為，則．
（3）由（2）知設(shè)．則設(shè)平面的法
向量則，所以令則，
所以同理，平面的法向量，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030709955475.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即解得，所以．