Question

【題目】如圖四邊形ABCD為邊長為2的菱形，G為AC與BD交點，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2 ．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直線EG與平面EDC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥DB

又因為平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC平面ABCD．

∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．

又BE=2，AE=2 ，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，

∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．

（Ⅱ）取AD中點H，連接BH．

∵四邊形ABCD為邊長為2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH= ．

由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B為原點，建立空間直角坐標系（如圖）

則E（0，0，2），D（1， ，0），G（ ， ，0），C（2，0，0）

設面EDC的法向量為

， ，

由 ，可取

cos = =﹣

直線EG與平面EDC所成角的正弦值為

【解析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．

又 AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B為原點，建立空間直角坐標系，

則E（0，0，2），D（1， ，0），G（ ， ，0），C（2，0，0），利用向量法求解．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．