Question

如圖，在長方體，中，，點在棱AB上移動.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求點到平面的距離；
（Ⅲ）等于何值時，二面角的大小為

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）二面角的大小為.

試題分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用向量數量積為零證明即可；（Ⅱ）求出平面的法向量解答；（Ⅲ）設平面的法向量，利用空間向量解答即可.
試題解析：

以為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，
則    2分
（1）      4分
（2）因為為的中點，則，從而，  5分
，設平面的法向量為，則也即，
得  6分
從而，   7分
所以點到平面的距離為    8分
（3）設平面的法向量，∴
由 令，∴
依題意
∴（不合，舍去）， 
.∴時，二面角的大小為.           12分