Question

【題目】已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn} 滿足anbn+1﹣an+1bn﹣2an+1an=0．
（1）令 ，求證數(shù)列{cn}為等差數(shù)列；
（2）若 ，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵anbn+1﹣an+1bn﹣2bn+1bn=0，

∴ ．

∵cn= ，

∴cn+1﹣cn=2，

∵首項是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}，

∴數(shù)列{cn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

∴cn=2n﹣1

（2）解：∵bn=3n﹣1，cn═ ，

∴an=（2n﹣1）3n﹣1，

∴Sn=1×30+3×31+…+（2n﹣1）×3n﹣1，

∴3Sn=1×3+3×32+…+（2n﹣1）×3n，

∴﹣2Sn=1+2（31+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n，

∴Sn=（n﹣1）3n+1

【解析】（1）由anbn+1﹣an+1bn﹣2bn+1bn=0，cn= ，可得數(shù)列{cn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{cn}的通項公式；（2）用錯位相減法來求和．
【考點精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式（及其變式）和數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點，需要掌握通項公式：或；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題．