Question

【題目】已知一個動點到點的距離比到直線的距離多1.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若過點的直線與曲線交于兩點，且線段中點是點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由題意，轉化為動點滿足到點的距離比到直線的距離相等，根據拋物線的定義，即可求解拋物線的方程；

（2）當直線斜率存在時，設，代入作差，即可求得直線斜率，進而利用正弦的點斜式方程，即可得到結論.

（1）∵動點滿足到點的距離比到直線距離多1，

∴動點滿足到點的距離比到直線的距離相等，

∴動點是以為焦點，為準線的拋物線，方程為

（2）當直線斜率不存在時，顯然不為中點，

當直線斜率存在時，設為直線斜率，設，

，得，

∴

又是線段的中點，∴，∴

故直線的方程為，化為一般形式即：