Question

【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右項(xiàng)點(diǎn)分別為A1，A2，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，|F1F2|=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P（4，m）的直線PA1，PA2與橢圓分別交于點(diǎn)M，N，其中m＞0，求的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）由離心率為，|F1F2|＝2，列式計(jì)算a，b，即可得橢圓C的方程.

（2）將直線PA1，PA1的方程：y，y分別與橢圓方程聯(lián)立，得到M、N的坐標(biāo)，可得直線MN過定點(diǎn)（1，0），故設(shè)MN的方程為：x＝ty+1，由結(jié)合韋達(dá)定理，可得△OMN的面積S2，再利用函數(shù)單調(diào)性即可求出面積最大值．

（1）∵離心率為，，

∴，∴，，則b=1

∴橢圓C的方程的方程為：

（2）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），

直線PA1，PA1的方程分別為：，

由，得

∴，可得，

由，可得

∴，可得，

，

直線MN的方程為：，

可得直線MN過定點(diǎn)（1，0），故設(shè)MN的方程為：

由得

設(shè)，，則，

∴，

∴的面積

令，則

∵，且函數(shù)在遞增，

∴當(dāng)，S取得最大值.