Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，有.函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令求證：是等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式
（Ⅲ）令，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由        ①
得        ②           1分
由②—①，得  
即：                  2分
由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，
                                  3分
即 數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
數(shù)列的通項(xiàng)公式是            4分
（Ⅱ）由知，
所以，                        5分
有，即， 6分
而，
故是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.                  7分
所以                                              8分
（Ⅲ），                 9分
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和 
錯位相減可得                         12分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式， “錯位相減法”。
點(diǎn)評：中檔題，確定數(shù)列通項(xiàng)公式，往往利用已知條件，建立相關(guān)“元素”的方程組，達(dá)到解題目的。 本題利用前n項(xiàng)和與提醒的關(guān)系，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，也是較為常見的題型。“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”“錯位相減法”是高考常常考查的數(shù)列求和方法。本題對運(yùn)算能力要求較高。