Question

如圖，在直三棱柱ABC-中，，D，E分別為BC，的中點，的中點，四邊形是邊長為6的正方形.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明：連結，與交于O點，連結OD.
因為O，D分別為和BC的中點，
所以OD//。
又OD， ，
所以.…………………………4分
（2）證明：在直三棱柱中，
，
所以.
因為為BC中點，
所以又，
所以.
又
因為四邊形為正方形，D，E分別為BC，的中點，
所以.
所以.     所以


（3）解：如圖，以的中點G為原點，建立空間直角坐標系，
則A（0，6，4），E（3，3，0） ，C（-3，6，0） ，.
由（Ⅱ）知為平面的一個法向量。
設為平面的一個法向量，

由
令，則.
所以.
從而.
因為二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為

解析