Question

【題目】已知拋物線的焦點為F,直線與軸的交點為P,與C的交點為Q,且過F的直線與C相交于A、B兩點.

(1)求C的方程；

(2)設點且的面積為求直線的方程；

(3)若線段AB的垂直平分線與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），或

【解析】

（1）設點的坐標為，把點的坐標代入拋物線的方程，求得，根據求得的值，可得的方程；

（2）設的方程為，代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得弦長，再求出點到直線的距離，利用的面積列方程求解即可；
（3）把直線MN的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得．由于MN垂直平分線段AB，若MN的中點為H，故AMBN四點共圓等價于，由此求得m的值，可得直線的方程．

解：（1）設點的坐標為，把點的坐標代入拋物線，

可得，

點，

，

又，

，求得，或（舍去）。

故C的方程為．

（2）由題意可得，直線和坐標軸不垂直，的焦點為，

設的方程為，代入拋物線方程得

，

顯然判別式，

AB的中點坐標。

弦長

的方程為，即，

到直線的距離為，

解得，

故直線的方程為或

（3）因為線段AB的垂直平分線與C相交于M、N兩點，

設直線MN的方程為，

把線MN的方程代入拋物線方程可得，

，

故線段MN的中點H的坐標為，

，

∵MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于，

，

化簡可得，

，

∴直線的方程為，或．