Question

【題目】設(shè)集合Pn={1，2，…，n}，n∈N* ． 記f（n）為同時(shí)滿(mǎn)足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：
①APn；②若x∈A，則2xA；③若x∈ A，則2x A．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解當(dāng)n=4時(shí)，P4={1，2，3，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}

故f（4）=4

（2）

解：任取偶數(shù)x∈pn，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過(guò)k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，

于是x=m2k，其中m為奇數(shù)，k∈N*

由條件可知，若m∈A，則x∈A，k為偶數(shù)

若mA，則x∈Ak為奇數(shù)

于是x是否屬于A由m是否屬于A確定，設(shè)Qn是Pn中所有的奇數(shù)的集合

因此f（n）等于Qn的子集個(gè)數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（或奇數(shù)時(shí)），Pn中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是 （或 ）

∴

【解析】（1）由題意可得P4={1，2，3，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶數(shù)x∈pn ， 將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2…，經(jīng)過(guò)k次后，商必為奇數(shù)，此時(shí)記商為m，可知，若m∈A，則x∈A，k為偶數(shù)；若mA，則x∈Ak為奇數(shù)，可求
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了元素與集合關(guān)系的判斷的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握對(duì)象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一才能正確解答此題．