Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．

（1）證明：MN∥平面A′ACC′；
（2）若二面角A′﹣MN﹣C為直二面角，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AB′、AC′，

由已知∠BAC=90°，AB=AC，

三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱，

所以M為AB′中點，

又因為N為B′C′的中點，

所以MN∥AC′，

又MN平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′；

法二：取A′B′的中點P，連接MP、NP，

M、N分別為A′B、B′C′的中點，

所以MP∥AA′，NP∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，

而MN平面MPN，

因此MN∥平面A′ACC′．

（2）

解：以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，如圖，

設AA′=1，則AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．

所以M（ ），N（ ），

設 =（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，

由 ，得 ，

可取 ，

設 =（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，

由 ，得 ，

可取 ，

因為二面角A'﹣MN﹣C為直二面角，

所以 ，

即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，

解得λ= ．

【解析】（1）法一，連接AB′、AC′，說明三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱，推出MN∥AC′，然后證明MN∥平面A′ACC′；
法二，取A′B′的中點P，連接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通過平面與平面平行證MN∥平面A′ACC′．（2）以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，設AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐標求出M，N，設 =（x1 ， y1 ， z1）是平面A′MN的法向量，通過 ，取 ，設 =（x2 ， y2 ， z2）是平面MNC的法向量，由 ，取 ，利用二面角A'﹣MN﹣C為直二面角，所以 ，解λ．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．