【題目】已知橢圓
，
為其左焦點，
在橢圓
上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
是橢圓上不同的兩點，以
為直徑的圓過原點
，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）設橢圓的右焦點為
，根據
在橢圓
上，利用橢圓的定義得到
，又
得解.
（2）分斜率存在和不存在兩種情況討論，當直線
的斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可知
，求得A，B坐標求解
.當直線的斜率存在時，設直線的方程為
，與橢圓方程聯立，根據以為直徑的圓過原點
，則
，再利用直角三角形中線定理有
，將韋達定理代入，兩式聯立求解.
（1）設橢圓的右焦點為，根據橢圓的定義：
，
又
，
，
橢圓的方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，由對稱性可知，
不妨設
，則
，
，此時
.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
，
，
聯立
，得
，
由
，得
，
由韋達定理得
，
，
因為以為直徑的圓過原點，
所以，
即
，
即
，滿足式.
設的中點是
，則
，
，
，
，當且僅當
時等號成立，即
，
又因為
，所以的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正四棱柱
的底面邊長為2，側棱長為4，過點
作平面
與正四棱柱的三條側棱
，
，
分別交于
，
，
，且
，若多面體
和多面體
的體積比為3∶5，則截面
的周長為_________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查，如表：(平均每天鍛煉的時間單位：分鐘)
平均每天鍛煉的時間/分鐘 |
|
|
|
|
|
|
總人數 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學生日均體育鍛煉時間在
的學生評價為“鍛煉達標”.
（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面
列聯表；
鍛煉不達標 | 鍛煉達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？
（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出5人，進行體育鍛煉體會交流，從參加體會交流的5人中，隨機選出2人作重點發言，求恰好選出一名男生的概率.
參考公式：
，其中
臨界值表
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】針對時下的“抖音熱”某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調查，其中被調查的男女生人數相同，男生喜歡抖音的人數占男生人數的
，女生喜歡抖音的人數占女生人數
，若有
的把握認為是否喜歡抖音和性別有關則調查人數中男生可能有（ ）人
附表：
| 0.050 | 0.010 |
| 3.841 | 6.635 |
附：
A.20B.40C.60D.80
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左右頂點為
，
為橢圓上異于的動點，設直線
的斜率分別為
，且
.
（1）求橢圓
的離心率；
（2）當橢圓內切于圓
時，設動直線
與橢圓相交于
兩點，
為坐標原點，若
，問：
的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個口袋中有4個白球，2個黑球，每次從袋中取出一個球.
（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；
（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次數
的分布列及
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，
，
分別是線段
，
的中點，底面
是正三角形，延長
到點
，使得
.
（1）
為線段上確定一點，當
平面
時，求
的值；
（2）當
平面
，且
時，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（θ為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為
．
（1）求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；
（2）若直線l：y＝kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，點M的直角坐標為（1，0），求△PMQ的面積．
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