Question

【題目】已知函數f（x）= ，數列{an}滿足a1=1，an+1=f（ ），n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令bn= （n≥2），b1=3，Sn=b1+b2++bn ， 若Sn＜ 對一切n∈N*成立，求最小正整數m．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，數列{an}滿足a1=1，

∴ = ，

∴{an}是首項為1，公差為 的等差數列，

∴ ．

（2）解：當n≥2時，

bn= = = ，

當n=1時，b1=3，代入上式成立，

∴Sn=b1+b2++bn

=

= ，

∵Sn＜ ，∴ 對一切n∈N*成立，

又 沿n遞增，且 ，

∴ ，∴m≥2013，

∴最小正整數m為2013．

【解析】（1）由已知條件得 = ，由此能求出 ．（2）當n≥2時，bn= = = ，當n=1時，b1=3，代入上式成立，由此利用裂項求和法結合已知條件得到 對一切n∈N*成立，由此能求出最小正整數m為2013．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．