Question

【題目】已知函數f（x）=（a﹣bx3）ex﹣ ，且函數f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求證：當x∈（0，1）時，f（x）＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①； 依題意，f′（1）=﹣2e﹣1；又 ，
故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，
聯立①②解得a=2，b=1，
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得
要證f（x）＞2，即證2ex﹣exx3＞2+ ；
令g（x）=2ex﹣exx3 ， ∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），
故當x∈（0，1）時，﹣ex＜0，x+1＞0；
令p（x）=x2+2x﹣2，因為p（x）的對稱軸為x=﹣1，且p（0）p（1）＜0，
故存在x0∈（0，1），使得p（x0）=0；
故當x∈（0，x0）時，p（x）=x2+2x﹣2＜0，g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，
即g（x）在（0，x0）上單調遞增；
當x∈（x0 ， 1）時，p（x）=x2+2x﹣2＞0，故g′（x）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2）＜0，
即g（x）在（x0 ， 1）上單調遞減；因為g（0）=2，g（1）=e，
故當x∈（0，1）時，g（x）＞g（0）=2，
又當x∈（0，1）時， ，∴
所以2ex﹣exx3＞2+ ，即f（x）＞2
【解析】（Ⅰ）根據函數f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，證f（x）＞2，即證2ex﹣exx3＞2+ ，構造函數，確定函數的單調性，即可證明結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．