Question

(12分) 已知橢圓C：，其相應于焦點的準線方程為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知過點傾斜角為的直線分別交橢圓C于A、B兩點，求證：；（Ⅲ）過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A、B和D、E，求的最小值。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)見解析   （Ⅲ）

（Ⅰ）由題意得：，∴，∴橢圓C的方程為。
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是橢圓C的左焦點，離心率，設是橢圓的左準線，則：作于，于，
于軸交于點H（如圖），
∵點A在橢圓上，∴
==
∴，同理
∴。
方法二：當時，記。則AB：
將其代入方程得
設，則是此二次方程的兩個根�！�，

 ①∵，代入①式得。②
當時，仍滿足②式�！�。
（Ⅲ）設直線AB傾斜角為，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得
，，
當或時，取得最小值。