Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，左焦點為，點是橢圓上位于軸上方的一個動點，當直線的斜率為1時，.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓的另外一個交點為，點關于軸的對稱點為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由題意可得 ，，從而得到橢圓的方程；

(2) 設直線的方程為聯立方程利用韋達定理表示面積，結合均值不等式即可得到最值.

（1）方法一：∵，∴，又，∴.

∴當直線的斜率為1時，直線通過橢圓的上頂點，∴.

又，，∴，橢圓的方程為.

方法二：設橢圓的右焦點為，在中，，，，

∴，即. ①

又∵，∴. ②

聯立①②有，，又，∴.

∴橢圓的方程為.

方法三：∵，∴，又，∴.

∴橢圓的方程可化為，即. ①

又直線的方程為. ②

聯立①②有，即，∴或.

直線的斜率為1且在軸上方，∴，∴的坐標為.

∴，∴，又，∴.

∴橢圓的方程為.

（2）∵在軸上方，∴直線的斜率不為0，設直線的方程為.

∵，，三點能構成三角形，∴直線不垂直于軸，∴，

設的坐標為，的坐標為，則的坐標為.

聯立，有，即，

∴，.

方法一： ，當且僅當即時取等號.

∴面積的最大值為.

方法二：直線的方程為，令，則

，

∴直線過定點，設定點為，則

，

當且僅當即時取等號.

∴面積的最大值為.