Question

已知拋物線C：y=2x²上的點A（-1，2），直線l₁過點A且與拋物線相切．直線l₂：x=a（a＞-1）交拋物線于點B，交直線l₁于點D，記△ABD的面積為S₁，拋物線和直線l₁，l₂所圍成的圖形面積為S₂，則S₁：S₂=（　　）

A．2：1

B．3：2

C．4：3

D．隨a的值而變化

Answer 1

分析：先由y=2x²，得y′=4x．當x=-1時，y'=-4．由此能求出l₁的方程．由

y=2x2 x=a

得：B點坐標為（a，2a²）．由

x=a 4x+y+12=0

得D點坐標（a，-4a-2）．點A到直線BD的距離為|a+1|．由此能求出S₁的值．當a＞-1時，S₁=（a+1）³，S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx=

2

3

（a+1）³．可知S₁：S₂的值為與a無關的常數

3

2

．

解答：解：由y=2x²，得y′=4x．當x=-1時，y'=-4．（2分）
∴l₁的方程為y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
由

y=2x2 x=a

得：B點坐標為（a，2a²）．（4分）
由

x=a 4x+y+12=0

得D點坐標（a，-4a-2）．（5分）
∴點A到直線BD的距離為|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
當a＞-1時，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=（

2

3

x³+2x²+2x）

|

a -1

=

2

3

（a+1）³．（9分）
∴S₁：S₂=

3

2

．（11分）
故選B．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意雙曲線的性質、導數、定積分的靈活運用，合理地進行等價轉化．