Question

已知拋物線C：y=x²，從原點O出發且斜率為k₀的直線l₀交拋物線C于一異于O點的點A₁（x₁，y₁），過A₁作一斜率為k₁的直線l₁交拋物線C于一異于A₁的點A₂（x₂，y₂）…，過A_n作斜率為k_n的直線l_n交拋物線C于一異于A_n的點A_n+1（x_n+1，y_n+1）且知k_n=k₀ⁿ⁺¹（k₀＞0且k₀≠1）．
（1）求x₁，x₂以及x_n與x_n+1之間的遞推關系式；
（2）求{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）根據直線的點斜式方程寫出直線l₀的方程，與y=x²，聯立方程組，求解得出x₁，同樣地根據直線的點斜式方程寫出直線l₁的方程，與y=x²，聯立方程組，求解得出x₂，l_n方程與y=x²聯立得x_n與x_n+1之間的遞推關系式；
（2）由（1）應得出x_n+1=k₀^n+1_-x_n，利用此遞推關系式求通項．

解答：解：（1）l₀方程為y=k_ox，與y=x²，聯立，解得x₁=k_o，
且A₁（k_o，k₀²），則l₁方程為y-k₀²=k₀²（x-k_o），與y=x²，聯立，解得x₂=k₀^2_-k_o，
l_n方程為y-x_n²=k₀ⁿ⁺¹（x-x_n），與y=x²聯立得，x^2_-k₀ⁿ⁺¹x-x_n²+k₀ⁿ⁺¹x_n=0，顯然x_n是方程的一個解，
由韋達定理解得x_n+1+x_n=k₀ⁿ⁺¹，
∴x_n+1=k₀^n+1_-x_n，此即為x_n與x_n+1之間的遞推關系式；
（2）由（1）x_n+1=k₀^n+1_-x_n，
得x_n=k₀^n_-x_n-1
=k₀^n_-（k₀^n-1_-x_n-2）
=k₀^n_-（k₀^n-1_-（k₀^n-2_-x_n-3））
=…=k₀^n_-k₀^n-1₊k₀^n-2-…-k₀^{2_+（-1）k+1}k_o，（n≥2）
又n=1時，也適合上式，
所以{x_n}的通項公式為x_n=k₀^n_-k₀^n-1₊k₀^n-2-…-k₀^{2_+（-1）k+1}k_o

點評：本題考查數列通項公式求解，數形結合的思想，考查邏輯推理，運算求解能力．