Question

已知拋物線C：y=x²+4x+

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，過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為-

1

2

，求點M的坐標（x₀，y₀）；
（2）設P（-2，4）為C對稱軸上的一點，在C上一定存在點，使得C在該點的法線通過點P．試求出這些點，以及C在這些點的法線方程．

Answer 1

分析：（1）由切線和法線垂直，則其斜率之積等于-1，可得M處的切線的斜率k=2，再根據導數的幾何意義，結合已知即可求得點M的坐標；
（2）分x₀=-2和x₀≠-2兩種情況討論，若x₀=-2，則C上點M(-2，-

1

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)處的切線斜率k=0，若x₀≠-2，則過點M（x₀，y₀）的法線方程為：y-y0=-

1

2x0+4

(x-x0)．分別求得法線方程即可．

解答：解：（1）函數y=x2+4x+

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的導數y′=2x+4，點（x₀，y₀）處切線的斜率k₀=2x₀+4、
∵過點（x₀，y₀）的法線斜率為-

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，∴-

1

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（2x₀+4）=-1，解得x₀=-1，y0=

1

2

．故點M的坐標為（-1，

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）．
2設M（x₀，y₀）3為C上一點，
（2）若x₀=-2，則C上點M(-2，-

1

2

)處的切線斜率k=0，
過點M(-2，-

1

2

)的法線方程為x=-2，法線過點P（-2，4）；
若x₀≠-2，則過點M（x₀，y₀）的法線方程為：y-y0=-

1

2x0+4

(x-x0)．
若法線過點P（-2，4），則4-y0=-

1

2x0+4

(-2-x0)，
解得x₀=0，y0=

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，得x+4y-14=0，或者x₀=-4，y0=

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，得x-4y+18=0．
綜上，在C上有點（0，

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），（-4，

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）及(-2，-

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)，
在該點的法線通過點P，法線方程分別為x+4y-14=0，x-4y+18=0，x=-2

點評：本題通過曲線的切線和法線問題，考查了導數的運算和幾何意義，同時綜合運用了分類討論的數學思想，難度較大．