Question

（2010•武漢模擬）已知拋物線C：y=

1

2

x2與直線l：y=kx-1沒有公共點，設點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．
（1）證明：直線AB恒過定點Q；
（2）若點P與（1）中的定點Q的連線交拋物線C于M，N兩點，證明：

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

．

Answer 1

分析：（1）先設出切點坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用導數的幾何意義求以A、B為切點的切線方程，再設出P（x₀，kx₀-1），代入兩條切線方程，得kx₀-1=x₀x₁-y₁．kx₀-1=x₀x₂-y₂．故直線AB的方程為kx₀-1=x₀x-y，過定點（k，1）
（2）先寫出直線PQ的方程y=

kx0-2

x0-k

（x-k）+1，代入拋物線方程y=

1

2

x2，得關于x的一元二次方程，為利用韋達定理準備條件，再設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要證

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需證明

x3-x0

x4-x0

=

k-x3

x4-k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0，最后利用韋達定理將x₃+x₄和x₃x₄代入即可得證

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），則y₁=

1

2

x12．
由y=

1

2

x2得y′=x，所以y′|x=x1=x1．
于是拋物線C在A點處的切線方程為y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．
設P（x₀，kx₀-1），則有kx₀-1=x₀x₁-y₁．設B（x₂，y₂），同理有kx₀-1=x₀x₂-y₂．
所以AB的方程為kx₀-1=x₀x-y，即x₀（x-k）-（y-1）=0，所以直線AB恒過定點Q（k，1）．
（2）PQ的方程為y=

kx0-2

x0-k

（x-k）+1，與拋物線方程y=

1

2

x2聯立，消去y，得
x²-

2kx0-4

x0-k

x+

2kx0-4

x0-k

=0
設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），則x₃+x₄=

2kx0-4

x0-k

，x₃x₄=

(2k2-2)x0-2k

x0-k

①
要證

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需證明

x3-x0

x4-x0

=

k-x3

x4-k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0②
由①知，②式
左邊=

2(2k2-2)x0-4k

x0-k

-（x+x₀）

2kx0-4

x0-k

+2kx₀
=

2(2k2-2)x0-4k-(k+x0)(2kx0-4)+2kx0(x0-k)

x0-k

=0．
故②式成立，從而結論成立．

點評：本題考察了拋物線的切線方程，直線與拋物線相交的性質，解題時要特別注意韋達定理在解題時的重要運用，還要有較強的運算推理能力